2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(10)

競(jìng)賽講座10

　　--抽屜原則

　　大家知道，兩個(gè)抽屜要放置三只蘋果，那么一定有兩只蘋果放在同一個(gè)抽屜里，更一般地說(shuō)，只要被放置的蘋果數(shù)比抽屜數(shù)目大，就一定會(huì)有兩只或更多只的蘋果放進(jìn)同一個(gè)抽屜，可不要小看這一簡(jiǎn)單事實(shí)，它包含著一個(gè)重要而又十分基本的原則——抽屜原則.

　　1. 抽屜原則有幾種最常見(jiàn)的形式

　　原則1 如果把n+k(k≥1)個(gè)物體放進(jìn)n只抽屜里，則至少有一只抽屜要放進(jìn)兩個(gè)或更多個(gè)物體：

　　原則本身十分淺顯，為了加深對(duì)它的認(rèn)識(shí)，我們還是運(yùn)用反證法給予證明;如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n，而不是題設(shè)的n+k(k≥1)，這不可能.

　　原則雖簡(jiǎn)單.巧妙地運(yùn)用原則卻可十分便利地解決一些看上去相當(dāng)復(fù)雜、甚至感到無(wú)從下手的總是，比如說(shuō)，我們可以斷言在我國(guó)至少有兩個(gè)人出生的時(shí)間相差不超過(guò)4秒鐘，這是個(gè)驚人的結(jié)論，該是經(jīng)過(guò)很多人的艱苦勞動(dòng)，統(tǒng)計(jì)所得的吧!不，只須我們稍動(dòng)手算一下：

　　不妨假設(shè)人的壽命不超過(guò)4萬(wàn)天(約110歲，超過(guò)這個(gè)年齡數(shù)的人為數(shù)甚少)，則

　　10億人口安排在8億6千4百萬(wàn)個(gè)“抽屜”里，根據(jù)原則1，即知結(jié)論成立.

　　下面我們?cè)倥e一個(gè)例子：

　　例1 幼兒園買來(lái)了不少白兔、熊貓、長(zhǎng)頸鹿塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同，試說(shuō)明道理.

　　解 從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：

　　(兔、兔)，(兔、熊貓)，(兔、長(zhǎng)頸鹿)，(熊貓、熊貓)，(熊貓、長(zhǎng)頸鹿)，(長(zhǎng)頸鹿、長(zhǎng)頸鹿)

　　把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜，把7個(gè)小朋友看作物體，那么根據(jù)原則1，至少有兩個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里，也就是說(shuō)，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.

　　原則2 如果把mn+k(k≥1)個(gè)物體放進(jìn)n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜至多放進(jìn)m+1個(gè)物體.證明同原則相仿.若每個(gè)抽屜至多放進(jìn)m個(gè)物體,那么n個(gè)抽屜至多放進(jìn)mn個(gè)物體,與題設(shè)不符，故不可能.

　　原則1可看作原則2的物例(m=1)

　　例2正方體各面上涂上紅色或藍(lán)色的油漆(每面只涂一種色)，證明正方體一定有三個(gè)面顏色相同.

　　證明把兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)抽屜，把正方體六個(gè)面當(dāng)作物體，那么6=2×2+2，根據(jù)原則二，至少有三個(gè)面涂上相同的顏色.

　　例3 把1到10的自然數(shù)擺成一個(gè)圓圈，證明一定存在在個(gè)相鄰的數(shù)，它們的和數(shù)大于17.

　　證明 如圖12-1，設(shè)a1，a2，a3，…，a9，a10分別代表不超過(guò)10的十個(gè)自然數(shù)，它們圍成一個(gè)圈，三個(gè)相鄰的數(shù)的組成是(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，…,(a9，a10，a1),(a10，a1，a2)共十組.現(xiàn)把它們看作十個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜的物體數(shù)是a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…a9+a10+a1，a10+a1+a2,由于

　　(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2)

　　=3(a1+a2+…+a9+a10)

　　=3×(1+2+…+9+10)

　　根據(jù)原則2,至少有一個(gè)括號(hào)內(nèi)的三數(shù)和不少于17,即至少有三個(gè)相鄰的數(shù)的和不小于17.

　　原則1、原則2可歸結(jié)到期更一般形式：

　　原則3把m1+m2+…+mn+k(k≥1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜里，那么或在第一個(gè)抽屜里至少放入m1+1個(gè)物體，或在第二個(gè)抽屜里至少放入m2+1個(gè)物體，……，或在第n個(gè)抽屜里至少放入mn+1個(gè)物體.

　　證明假定第一個(gè)抽屜放入物體的數(shù)不超過(guò)m1個(gè)，第二個(gè)抽屜放入物體的數(shù)不超過(guò)m2個(gè)，……，第n個(gè)抽屜放入物體的個(gè)數(shù)不超過(guò)mn，那么放入所有抽屜的物體總數(shù)不超過(guò)m1+m2+…+mn個(gè)，與題設(shè)矛盾.

　　例4 有紅襪2雙，白襪3雙，黑襪4雙，黃襪5雙，藍(lán)襪6雙(每雙襪子包裝在一起)若取出9雙，證明其中必有黑襪或黃襪2雙.

　　證明 除可能取出紅襪、白襪3雙外.還至少?gòu)钠渌N顏色的襪子里取出4雙，根據(jù)原理3，必在黑襪或黃襪、藍(lán)襪里取2雙.

　　上面數(shù)例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問(wèn)題，不錯(cuò)，這正是抽屜原則的主要作用.需要說(shuō)明的是，運(yùn)用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少.

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