2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(10)

　　3. 較復(fù)雜的問(wèn)題須反復(fù)地運(yùn)用抽屜原則，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題.

　　例9以(x，y，z)表示三元有序整數(shù)組，其中x、y、z為整數(shù)，試證：在任意七個(gè)三元整數(shù)組中，至少有兩個(gè)三元數(shù)組，它們的x、y、z元中有兩對(duì)都是奇數(shù)或都是偶數(shù).

　　分析 設(shè)七個(gè)三元素組為A1(x1，y1，z1)、A2(x2，y2，z2)、…、A7(x7，y7，z7).現(xiàn)在逐步探索，從x元開(kāi)始，由抽屜原則，x1，x2，…，x7這七個(gè)數(shù)中，必定有四個(gè)數(shù)具有相同的奇偶性，不妨設(shè)這四個(gè)數(shù)是x1，x2，x3，x4且為偶數(shù)，接著集中考慮A1、A2、A3、A4這四組數(shù)的y元，若比如y1，y2，y3，y4中有兩個(gè)是偶數(shù)，則問(wèn)題已證，否則至多有一個(gè)是偶數(shù)，比如y4是偶數(shù)，這時(shí)我們?cè)賮?lái)集中考慮A1、A2、A3的z元.在z1，z2，z3中，由抽屜原則必有兩個(gè)數(shù)具有相同的奇偶性，如z1、z2，這時(shí)無(wú)論它們是奇數(shù)，還是偶數(shù)，問(wèn)題都已得到證明.

　　下面介紹一個(gè)著名問(wèn)題.

　　例10 任選6人，試證其中必有3人，他們互相認(rèn)識(shí)或都不認(rèn)識(shí).

　　分析 用A、B、C、D、E、F表示這6個(gè)人，首先以A為中心考慮，他與另外五個(gè)人B、C、D、E、F只有兩種可能的關(guān)系：認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)，那么由抽屜原則，他必定與其中某三人認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)，現(xiàn)不妨設(shè)A認(rèn)識(shí)B、C、D三人，當(dāng)B、C、D三人都互不認(rèn)識(shí)時(shí)，問(wèn)題得證;當(dāng)B、C、D三人中有兩人認(rèn)識(shí)，如B、C認(rèn)識(shí)時(shí)，則A、B、C互相認(rèn)識(shí)，問(wèn)題也得證.

　　本例和上例都采用了舍去保留、化繁為簡(jiǎn)、逐步縮小考慮范圍的方法.

　　例11a，b，c，d為四個(gè)任意給定的整數(shù)，求證：以下六個(gè)差數(shù)

　　b-a，c-a，d-a，c-b，d-b，d-c的乘積一定可以被12整除.

　　證明 把這6個(gè)差數(shù)的乘積記為p，我們必須且只須證明：3與4都可以整除p，以下分兩步進(jìn)行.

　　第一步，把a(bǔ)，b，c，d按以3為除數(shù)的余數(shù)來(lái)分類(lèi)，這樣的類(lèi)只有三個(gè)，故知a，b，c，d中至少有2個(gè)除以3的余數(shù)相同，例如，不妨設(shè)為a，b，這時(shí)3可整除b-a，從而3可整除p.

　　第二步，再把a(bǔ)，b，c，d按以4為除數(shù)的余數(shù)來(lái)分類(lèi)，這種類(lèi)至多只有四個(gè)，如果a，b，c，d中有二數(shù)除以4的余數(shù)相同，那么與第一步類(lèi)似，我們立即可作出4可整除p的結(jié)論.

　　設(shè)a，b，c，d四數(shù)除以4的余數(shù)不同，由此推知，a，b，c，d之中必有二個(gè)奇數(shù)(不妨設(shè)為a，b)，也必有二個(gè)偶數(shù)(設(shè)為c，d)，這時(shí)b-a為偶數(shù)，d-c也是偶數(shù)，故4可整除(b-a)(d-c)，自然也可得出4可整除p.

　　如果能進(jìn)一步靈活運(yùn)用原則，不僅制造抽屜，還根據(jù)問(wèn)題的特征，制造出放進(jìn)抽屜的物體，則更可收到意想不到的效果.

　　例12 求證：從任意n個(gè)自然數(shù)a1，a2，…，an中可以找到若干個(gè)數(shù)，使它們的和是n的倍數(shù).

　　分析以0，1，…，n-1即被n除的余數(shù)分類(lèi)制造抽屜的合理的，但把什么樣的數(shù)作為抽屜里的物體呢?扣住“和”，構(gòu)造下列和數(shù)：

　　S1=a1,

　　S2=a1+a2,

　　S=a1+a2+a3,

　　…………

　　Sn=a1+a2+…+an，

　　其中任意兩個(gè)和數(shù)之差仍為和數(shù)，若他們之中有一是n的倍數(shù)，問(wèn)題得證，否則至少有兩個(gè)數(shù)被n除余數(shù)相同，則它們的差即它們中若干數(shù)(包括1個(gè))的和是n的倍數(shù)，問(wèn)題同樣得證.

　　例子3(北京1990年高一競(jìng)賽)910瓶紅、藍(lán)墨水，排成130行，每行7瓶，證明：不論怎樣排列，紅藍(lán)墨水瓶的顏色次序必定出現(xiàn)下述兩種情況之一種：

　　(1)至少有三行完全相同;

　　(2)至少有兩組(四行)每組的兩行完全相同.

　　解910瓶紅、藍(lán)墨水排成130行，每行7瓶，對(duì)一行來(lái)說(shuō)，每個(gè)位置上有紅藍(lán)兩種可能，因此，一行的紅、藍(lán)墨水排法有27=128種，對(duì)每一種不同排法設(shè)為一種“行式”，共有128種行式.

　　現(xiàn)有130行，在其中任取129行，依抽屜原則知，必有兩行A、B行式相同.

　　除A、B外余下128行，若有一行P與A行式相同，知滿足(1)至少有三行A、B、P完全相同，若在這128行中設(shè)直一行5A行或相同，那么這128行至多有127種行式，依抽屜原則，必有兩行C、D具有相同行式，這樣便找到了(A、B)，(C、D)兩組(四行)，且兩組兩行完全相同.

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