2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(10)

　　2. 制造抽屜是運(yùn)用原則的一大關(guān)鍵

　　首先要指出的是，對于同一問題，�？梢罁�(jù)情況，從不同角度設(shè)計(jì)抽屜，從而導(dǎo)致不同的制造抽屜的方式.

　　例5 在邊長為1的正方形內(nèi)，任意給定13個點(diǎn)，試證：其中必有4個點(diǎn)，以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊開面積不超過 (假定四點(diǎn)在一直線上構(gòu)成面積為零的四邊形).

　　證明如圖12-2把正方形分成四個相同的小正方形.

　　因13=3×4+1，根據(jù)原則2，總有4點(diǎn)落在同一個小正方形內(nèi)(或邊界上)，以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積不超過小正方形的面積，也就不超過整個正方形面積的 .

　　事實(shí)上，由于解決問題的核心在于將正方形分割成四個面積相等的部分，所以還可以把正方形按圖12-3(此處無圖)所示的形式分割.

　　合理地制造抽屜必須建立在充分考慮問題自身特點(diǎn)的基礎(chǔ)上.

　　例6 在一條筆直的馬路旁種樹，從起點(diǎn)起，每隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護(hù)樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹之間的距離是偶數(shù)(以米為單位)，這是為什么?

　　解如圖12-4(設(shè)掛牌的三棵樹依次為A、B、C.AB=a，BC=b，若a、b中有一為偶數(shù)，命題得證.否則a、b均為奇數(shù)，則AC=a+b為偶數(shù)，命題得證.

　　下面我們換一個角度考慮：給每棵樹上編上號，于是兩棵樹之間的距離就是號碼差，由于樹的號碼只能為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，那么掛牌的三棵樹號碼至少有兩個同為奇數(shù)或偶數(shù)，它們的差必為偶數(shù)，問題得證.

　　后一證明十分巧妙，通過編號碼，將兩樹間距離轉(zhuǎn)化為號碼差.這種轉(zhuǎn)化的思想方法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法

　　例7 從自然數(shù)1，2，3，…99，100這100個數(shù)中隨意取出51個數(shù)來，求證：其中一定有兩個數(shù)，，它們中的一個是另一個的倍數(shù).

　　分析設(shè)法制造抽屜：(1)不超過50個;(2)每個抽屜的里的數(shù)(除僅有的一個外)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)，一個自然數(shù)的想法是從數(shù)的質(zhì)因數(shù)表示形式入手.

　　解設(shè)第一個抽屜里放進(jìn)數(shù)：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26;

　　第二個抽屜時(shí)放進(jìn)數(shù)：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25;

　　第三個抽屜里放進(jìn)數(shù)：5，5×2，5×22，5×23，5×24;

　　………………

　　第二十五個抽屜里放進(jìn)數(shù)：49，49×2;

　　第二十六個抽屜里放進(jìn)數(shù)：51.

　　………………

　　第五十個抽屜里放進(jìn)數(shù)：99.

　　那么隨意取出51個數(shù)中，必有兩個數(shù)同屬一個抽屜，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).

　　制造抽屜并非總是一帆風(fēng)順的，有時(shí)要邊制造邊調(diào)整、改進(jìn).

　　例8 任意給定7個不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).

　　分析注意到這些數(shù)隊(duì)以10的余數(shù)即個位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個抽屜，標(biāo)以[0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個自然數(shù)，似不便運(yùn)用抽屜原則，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]，[9]四個抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個抽屜里有兩個數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).

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