2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(21)

　　3.關(guān)于不等式及不定方程的整數(shù)解

　　例7(1985年武漢市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆;如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，求猴子的只數(shù)和花生的顆數(shù).

　　解：設(shè)有x只猴子和y顆花生，則：

　　y-3x=8, ①

　　5x-y<5， ②

　　由①得：y=8+3x, ③

　　③代入②得5x-(8+3x)<5,

　　∴ x<6.5

　　因?yàn)閥與x都是正整數(shù)，所以x可能為6，5，4，3，2，1，相應(yīng)地求出y的值為26，23，20，17，14，11.

　　經(jīng)檢驗(yàn)知，只有x=5，y=23和x=6，y=26這兩組解符合題意.

　　答：有五只猴子，23顆花生，或者有六只猴子，26顆花生.

　　例8(1986年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)在一次射箭比賽中，已知小王與小張三次中靶環(huán)數(shù)的積都是36，且總環(huán)數(shù)相等，還已知小王的最高環(huán)數(shù)比小張的最高環(huán)數(shù)多(中箭的環(huán)數(shù)是不超過(guò)10的自然數(shù))，則小王的三次射箭的環(huán)數(shù)從小到大排列是多少?

　　解 設(shè)小王和小張三次中靶的環(huán)數(shù)分別是x、y、z和a、b、c,不妨設(shè)x≤y≤z，a≤b≤c，由題意，有： 因?yàn)榄h(huán)數(shù)為不超過(guò)10的自然數(shù)，首先有z≠10，否則與①式矛盾.

　　若設(shè)z=9,則由①知：xy=4,

　　∴x=2,y=2,或x=1,y=4,

　　∴x+y+z=13或x+y+z=14.

　　又由②及c

　　∴a=2，b=3，或a=1，b=6

　　∴a+b+c=11或a+b+c=13

　　又由③知：x+y+z=a+b+c=13

　　∴取x=2，y=2，z=9.

　　答：小王的環(huán)數(shù)分別為2環(huán)，2環(huán)，9環(huán).

　　例9(1980年蘇聯(lián)全俄第6屆中學(xué)生物理數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)一隊(duì)旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數(shù)相等，起初，每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下一人未上車;如果有一輛汽車空車開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上，已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車?有多少名旅客?

　　解 設(shè)起初有汽車k輛，開走一輛空車后，平均每輛車所乘的旅客為n名，顯然，k≥2，n≤32，由題意，知：22k+1=n(k-1)，

　　∴k-1=1，或k-1=23,

　　即k=2，或k=24.

　　當(dāng)k=2時(shí)，n=45不合題意，

　　當(dāng)k=24時(shí),n=23合題意，

　　這時(shí)旅客人數(shù)為n(k-1)=529.

　　答：起初有24輛汽車，有529名旅客

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