2016中考數(shù)學(xué)備考專項(xiàng)練習(xí)(16)：開放性問題

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　　1. (2014•四川巴中，第28題10分)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF.

　　(1)請你添加一個(gè)條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　　，并證明.

　　(2)在問題(1)中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請說明理由.

　　考點(diǎn)：矩形的判定.

　　分析：(1)根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當(dāng)EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時(shí)，都可以證明△BEH≌△CFH，

　　(2)由(1)可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時(shí)，四邊形BFCE是矩形.

　　解答：(1)答：添加：EH=FH，證明：∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，∴BH=CH，

　　在△△BEH和△CFH中， ，∴△BEH≌△CFH(SAS);

　　(2)解：∵BH=CH，EH=FH，

　　∴四邊形BFCE是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形為平行四邊形)，

　　∵當(dāng)BH=EH時(shí)，則BC=EF，

　　∴平行四邊形BFCE為矩形(對角線相等的平行四邊形為矩形).

　　點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，難度不大.

　　2. (2014•山東威海，第24題11分)猜想與證明：

　　如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

　　拓展與延伸：

　　(1)若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 DM=DE .

　　(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

　　考點(diǎn)： 四邊形綜合題

　　分析： 猜想：延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明.

　　(1)延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

　　(2)連接AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

　　解答： 猜想：DM=ME

　　證明：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，

　　∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，

　　∴AD∥EF，

　　∴∠EFM=∠HAM，

　　又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，

　　在△FME和△AMH中，

　　∴△FME≌△AMH(ASA)

　　∴HM=EM，

　　在RT△HDE中，HM=EM，

　　∴DM=HM=ME，

　　∴DM=ME.

　　(1)如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，

　　∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，

　　∴AD∥EF，

　　∴∠EFM=∠HAM，

　　又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，

　　在△FME和△AMH中，

　　∴△FME≌△AMH(ASA)

　　∴HM=EM，

　　在RT△HDE中，HM=EM，

　　∴DM=HM=ME，

　　∴DM=ME，

　　故答案為：DM=ME.

　　(2)如圖2，連接AE，

　　∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，

　　∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

　　∴AE和EC在同一條直線上，

　　在RT△ADF中，AM=MF，

　　∴DM=AM=MF，

　　在RT△AEF中，AM=MF，

　　∴AM=MF=ME，

　　∴DM=ME.

　　點(diǎn)評： 本題主要考查四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)及直角三角形的中線與斜邊的關(guān)系找出相等的線段.

　　3. (2014•山東棗莊，第22題8分)如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知O是AC的中點(diǎn)，AE=CF，DF∥BE.

　　(1)求證：△BOE≌△DOF;

　　(2)若OD=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形?請證明你的結(jié)論.

　　考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì);矩形的判定

　　專題： 計(jì)算題.

　　分析： (1)由DF與BE平行，得到兩對內(nèi)錯(cuò)角相等，再由O為AC的中點(diǎn)，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得證;

　　(2)若OD=AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用對角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證.

　　解答： (1)證明：∵DF∥BE，

　　∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

　　∵O為AC的中點(diǎn)，即OA=OC，AE=CF，

　　∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，

　　在△BOE和△DOF中，

　　，

　　∴△BOE≌△DOF(AAS);

　　(2)若OD=AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為：

　　證明：∵△BOE≌△DOF，

　　∴OB=OD，

　　∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，

　　∴四邊形ABCD為矩形.

　　點(diǎn)評： 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

　　4. (2014•山東煙臺(tái)，第25題10分)在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng).

　　(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由;

　　(2)如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長線上時(shí)，連接AE和DF，(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請你直接回答“是”或“否”，不需證明)

　　(3)如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由;

　　(4)如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

　　考點(diǎn)：全等三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)動(dòng)與變化的思想.

　　分析：(1)AE=DF，AE⊥DF.先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF;

　　(2)是.四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°，∠DAE+

　　∠ADF=90°，所以AE⊥DF;

　　(3)成立.由(1)同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF;

　　(4)由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，再由勾股定理可得

　　OC的長，再求CP即可.

　　解答：(1)AE=DF，AE⊥DF.理由：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF.

　　∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF;

　　(2)是;

　　(3)成立.

　　理由：由(1)同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF

　　延長FD交AE于點(diǎn)G，

　　則∠CDF+∠ADG=90°，

　　∴∠ADG+∠DAE=90°.

　　∴AE⊥DF;

　　(4)如圖：

　　由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，

　　∴點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，

　　設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，

　　在Rt△ODC中，OC= ，

　　∴CP=OC﹣OP= .

　　點(diǎn)評： 本題主要考查了四邊形的綜合知識(shí).綜合性較強(qiáng)，特別是第(4)題要認(rèn)真分析.

　　5. (2014•浙江杭州，第23題，12分)復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是實(shí)數(shù)).

　　教師：請獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫到黑板上.

　　學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選出以下四條：

　　①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過(1，0)點(diǎn);

　�、诤瘮�(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn);

　　③當(dāng)x>1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小;

　�、苋艉瘮�(shù)有最大值，則最大值比為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值比為負(fù)數(shù).

　　教師：請你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由.最后簡單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法.

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