2016中考數(shù)學(xué)備考專項(xiàng)練習(xí)(16)：開放性問(wèn)題

　　考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題

　　分析： ①將(1，0)點(diǎn)代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷;

　�、谑紫瓤紤]，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假;

　�、鄹鶕�(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷;

　�、墚�(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，無(wú)最大之和最小值，當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為拋物線，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，即可作出判斷.

　　解答： 解：①真，將(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，

　　解得：k=0.

　　運(yùn)用方程思想;

　�、诩�，反例：k=0時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn).運(yùn)用舉反例的方法;

　�、奂�，如k=1，﹣ =，當(dāng)x>1時(shí)，先減后增;運(yùn)用舉反例的方法;

　�、苷妫�當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)無(wú)最大、最小值;

　　k≠0時(shí)，y最= =﹣ ，

　　∴當(dāng)k>0時(shí)，有最小值，最小值為負(fù);

　　當(dāng)k<0時(shí)，有最大值，最大值為正.運(yùn)用分類討論思想.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，立意新穎，結(jié)合考察了數(shù)學(xué)解題過(guò)程中經(jīng)常用到的幾種解題方法，同學(xué)們注意思考、理解，難度一般.

　　6. (2014•陜西,第26題12分)問(wèn)題探究

　　(1)如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形△APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng);

　　(2)如圖②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng);

　　問(wèn)題解決

　　(3)有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問(wèn)在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°?若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　考點(diǎn)： 圓的綜合題;全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);勾股定理;三角形中位線定理;矩形的性質(zhì);正方形的判定與性質(zhì);直線與圓的位置關(guān)系;特殊角的三角函數(shù)值

　　專題： 壓軸題;存在型.

　　分析： (1)由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運(yùn)用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可解決問(wèn)題.

　　(2)以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過(guò)添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)即可求出BQ長(zhǎng).

　　(3)要滿足∠AMB=60°，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，就可算出符合條件的DM長(zhǎng).

　　解答： 解：(1)①作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，如圖①，

　　則PA=PD.

　　∴△PAD是等腰三角形.

　　∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴AB=DC，∠B=∠C=90°.

　　∵PA=PD，AB=DC，

　　∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).

　　∴BP=CP.

　　∵BC=4，

　　∴BP=CP=2.

　�、谝渣c(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P′，如圖①，.

　　則DA=DP′.

　　∴△P′AD是等腰三角形.

　　∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°.

　　∵AB=3，BC=4，

　　∴DC=3，DP′=4.

　　∴CP′= = .

　　∴BP′=4﹣ .

　�、埸c(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P″，如圖①，

　　則AD=AP″.

　　∴△P″AD是等腰三角形.

　　同理可得：BP″= .

　　綜上所述：在等腰三角形△ADP中，

　　若PA=PD，則BP=2;

　　若DP=DA，則BP=4﹣ ;

　　若AP=AD，則BP= .

　　(2)∵E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，

　　∴EF∥BC，EF= BC.

　　∵BC=12，

　　∴EF=6.

　　以EF為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②.

　　∵AD⊥BC，AD=6，

　　∴EF與BC之間的距離為3.

　　∴OQ=3

　　∴OQ=OE=3.

　　∴⊙O與BC相切，切點(diǎn)為Q.

　　∵EF為⊙O的直徑，

　　∴∠EQF=90°.

　　過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②.

　　∵EG⊥BC，OQ⊥BC，

　　∴EG∥OQ.

　　∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，

　　∴四邊形OEGQ是正方形.

　　∴GQ=EO=3，EG=OQ=3.

　　∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，

　　∴BG= .

　　∴BQ=GQ+BG=3+ .

　　∴當(dāng)∠EQF=90°時(shí)，BQ的長(zhǎng)為3+ .

　　(3)在線段CD上存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°.

　　理由如下：

　　以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，

　　作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K.

　　設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，

　　過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為H，如圖③.

　　則⊙O是△ABG的外接圓，

　　∵△ABG是等邊三角形，GP⊥AB，

　　∴AP=PB= AB.

　　∵AB=270，

　　∴AP=135.

　　∵ED=285，

　　∴OH=285﹣135=150.

　　∵△ABG是等邊三角形，AK⊥BG，

　　∴∠BAK=∠GAK=30°.

　　∴OP=AP•tan30°

　　=135×

　　=45 .

　　∴OA=2OP=90 .

　　∴OH

　　∴⊙O與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為M，連接MA、MB，如圖③.

　　∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90 ..

　　∵OH⊥CD，OH=150，OM=90 ，

　　∴HM= = =30 .

　　∵AE=400，OP=45 ，

　　∴DH=400﹣45 .

　　若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DM=DH+HM=400﹣45 +30 .

　　∵400﹣45 +30 >340，

　　∴DM>CD.

　　∴點(diǎn)M不在線段CD上，應(yīng)舍去.

　　若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，則DM=DH﹣HM=400﹣45 ﹣30 .

　　∵400﹣45 ﹣30 <340，

　　∴DM

　　∴點(diǎn)M在線段CD上.

　　綜上所述：在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使∠AMB=60°，

　　此時(shí)DM的長(zhǎng)為(400﹣45 ﹣30 )米.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，考查了操作、探究等能力，綜合性非常強(qiáng).而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵.

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