在數(shù)量關(guān)系類題目中,比例是我們最為常用的一種解題方法,常用在行程問題、工程問題以及其它相關(guān)題目中。相較于方程,比例能夠更快速的、更直接的表示出題干中的數(shù)據(jù)關(guān)系從而能夠幫助我們快速解題。而比例統(tǒng)一類題目又是其中的一大題型,常在考試中出現(xiàn)。針對于近幾年題目,我們對比例統(tǒng)一類題目做了相應(yīng)的總結(jié)從而幫助我們快速的掌握。
比例統(tǒng)一是指將多個比例統(tǒng)一成一個比例。比例統(tǒng)一的目的是為了將份數(shù)所對應(yīng)的實際量化為相同。這樣比例之間才能進行基本運算以比較每個量之間的關(guān)系。從而找出份數(shù)與實際量的對應(yīng)關(guān)系。
在比例統(tǒng)一的過程中其關(guān)鍵在于尋找不變量,以不變量為橋梁將比例進行統(tǒng)一。那么比例統(tǒng)一的題型主要就是按照不變量的類型進行分類。分為以下三類:
部分量不變
現(xiàn)有比例存在共同的部分量,且這個部分量的實際量沒有發(fā)生變化。
例1.一個袋子里面裝著紅色和白色兩種顏色的小球,數(shù)量之比為3:2。放入出16顆白色小球后,紅球:白球=7:5。求原來有多少顆紅球?
解析:當(dāng)放入白色小球后,紅球不會發(fā)生改變,因此,以紅白的實際量為橋梁將兩個比例中紅球的份數(shù)化為統(tǒng)一。首先:紅1:白1=3:2,紅3份。紅2:白2=7:5,紅7份。要使紅球的份數(shù)相同,找3和7的公倍數(shù)21.則第一個比例需要擴大7倍及紅1:白1=3x7:2x7=21:14。第二個比例需要擴大3倍及紅2:白22=7x3:5x3=21:15。紅1:白1::紅2:白2:=21:14:21:15,則原來的白球從14份變成15份,增加了一份,一份所對應(yīng)的就是放入的16顆白球,所以原來的紅球為21x16=336個。
和量不變
現(xiàn)有比列能表示部分量的和,且這個和量的實際量沒有發(fā)生變化
例2.一個袋子里面裝著紅色和白色兩種顏色的小球,數(shù)量之比為3:2。將16顆紅色的小球變?yōu)榱税咨,現(xiàn)在紅球:白球=7:5。求原來有多少顆紅球?
解析:當(dāng)紅色小球變?yōu)榘咨∏蚝螅瑑蓚部分量都變化,但是紅球和白球總和的實際量是不會發(fā)生改變的,因此,以紅白、小球和量的實際量為橋梁將兩個比例中紅球、白球相加的份數(shù)化為統(tǒng)一。首先:紅1:白1=3:2,紅白和為5份。紅2:白2=7:5,紅白和為12份。要使相加的份數(shù)相同,找5和12的公倍數(shù)60.則第一個比例需要擴大12倍及紅1:白1:和1=3x12:2x12:5x12=36:24:60。第二個比例需要擴大5倍及紅2:白2:和2=7x5:5x5:12x5=35:25:60。紅1:白1::紅2:白2:==36:24:35:26,則原來的紅球從36份變成36份,減少了一份,一份所對應(yīng)的就是變成白球的16,所以原來的紅球為36x16=576個。
差量不變
現(xiàn)有比列能表示部分量的差,且這個差量的實際量沒有發(fā)生變化
例3.一個袋子里面裝著紅色和白色兩種顏色的小球,數(shù)量之比為3:2。同時放入16顆紅球,16顆白球,現(xiàn)在紅球:白球=7:5。求原來有多少顆紅球?
解析:當(dāng)同時取出相同數(shù)量的小球后,部分量,和量都發(fā)生了變化,但是紅球和白球之間的差值的實際量是不會發(fā)生改變的,因此,以紅白、小球差量的實際量為橋梁將兩個比例中紅球、白球所差的份數(shù)化為統(tǒng)一。首先:紅1:白1=3:2,紅白之間差了1份。紅2:白2=7:5,紅白之間差了2份。要是差的份數(shù)相同,則第一個比例需要同時擴大兩倍及紅1:白1=3x2:2x2=6:4。紅1:白1::紅2:白2==6:4:7:5,則原來的紅球從6份變成7份,增加了一份,一份所對應(yīng)的就是放入的16個紅球,所以原來的紅球為6x16=96個。
備注:在所有考試題中還未出現(xiàn)過考查差量不變的題目,但大家應(yīng)該注意其思維方式。
整體來說,當(dāng)題干中出現(xiàn)多個比例的時候,我們首先應(yīng)該考慮是否需要將比例進行統(tǒng)一,如果要統(tǒng)一我們只需要從部分量、和量、差量三個方面來進行考慮。
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