2007年公務員行政能力測試:中國剩余定理

“中國剩余定理”算理及其應用

  為什么這樣解呢？因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。（任何一個一次同余式組，只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。）把70、21、15這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個積加起來是233，符合題意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個答案。
用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三個數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。后來我國數(shù)學家又研究了這個問題，運用了像上面分析的方法那樣進行解答。

例1：一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？
題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
為了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因為，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)。

例2：一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？
題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
為了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因為，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數(shù)。

例3：一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。
題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
為了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因為，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的數(shù)。

例4：有一個年級的同學，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人 ？（幸福123老師問的題目）
題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因為，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的數(shù)。

例5：有一個年級的同學，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問這個年級至少有多少人 ？（澤林老師的題目）
題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因為，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的數(shù)。
（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。）

關于“中國剩余定理”類型題目的另外解法

“中國剩余定理”解的題目其實就是“余數(shù)問題”，這種題目，也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。不懂論壇上有沒人發(fā)過。小學奧賽考試時學習過，也用過，現(xiàn)在把方法寫出來，如果懂的也別笑我，呵呵。
  選了一本小學奧賽的書上的題目，講下：
例一，一個數(shù)被5除余2，被6除少2，被7除少3，這個數(shù)最小是多少？
解法：題目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 �？吹侥莻�“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7＋4＝46。下面一步試下46能不能滿足第一個條件“一個數(shù)被5除余2”。不行的話，只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42，一直加到能滿足“一個數(shù)被5除余2”。這步的原因是，42是6和7的最小公倍數(shù)，再怎么加都會滿足
“被6除余4，被7除余4”的條件。
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況，如果遇到?jīng)]有的，下面講
例二，一個班學生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個班有多少學生？
解法：題目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。沒有同余的情況，用的方法是“逐步約束法”，就是從“除7余4的數(shù)”中找出符合“除5余3的數(shù)”，就是再7上一直加4，直到所得的數(shù)除5余3。得出數(shù)為18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35，直到滿足“除3余2”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
這種方法也可以解“中國剩余定理”解的題目。比“中國剩余定理”更好理解，我覺的速度上會比那個繁瑣的公式化的解題更快。

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