公務(wù)員考試數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及方法

　　二、例題分析：

　　例1 求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。

　　分析：設(shè)A={20以內(nèi)2的倍數(shù)}，B={20以內(nèi)3的倍數(shù)}，顯然，要求計算2或3的倍數(shù)個數(shù)，即求∣A∪B∣。

　　解1：A={2，4，6，…20}，共有10個元素，即|A|=10

　　B={3，6，9，…18}，共有6個元素，即|B|=6

　　A∩B={既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)}={6，12，18}，共有3個元素，即|A∩B|=3

　　所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13個元素。

　　解2：本題可直觀地用圖示法解答

　　如圖,其中,圓A中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體;圓B中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體,其中陰影部分的數(shù)6,12,18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即A∩B中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合A∪B中的數(shù)的個數(shù)即可。

　　例2 某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分上的有25人;語文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人?

　　解：設(shè)A={數(shù)學(xué)成績90分以上的學(xué)生}

　　B={語文成績90分以上的學(xué)生}

　　那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，

　　∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

　　現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

　　∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

　　點評：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。