數(shù)學將來可能會合并 俞正光解析考研大綱

    俞正光：

    從考研上來說，考研已經(jīng)進行了這么長時間了，每年的考題都有很多的相似之處，每年考點里最基本的基本概念和方法，基本上都覆蓋。同學在充分復習的基礎上，對于這些考研里遇到的，我們的這些題目的內容，包括題型都有了一定的了解，所以，他會感到拿到一套題以后挺熟悉的，做起來挺順手的，挺會做。自我感覺是不錯的，但是最后考分不是那么理想，這里我想主要是兩個原因。一個原因是他對一些基本概念，雖然是知道了，但是對這些概念掌握的并不是很透，或者說掌握的不是那么正確。在應用上可能會產(chǎn)生一些錯誤的概念和方法。另外一個方面，雖然這個方法很基本，但是由于計算上不熟練，這個方法是不是你能夠最后能不能給他做對了，這個就有一個疑問。所以我自己覺得，我會做了，我也能做了，但是不見得一定能做對。再有一些考研里，尤其像線性代數(shù)里，經(jīng)常有這樣的情況，一個題里有若干個參數(shù)，考察我們同學全面分析問題和解決問題的能力。對于這個參數(shù)，我們需要一個一個逐個進行分析，但是這方面的能力，我們的同學相對來說差一些。他不可能或者說不會很全面，很正確的按照這些參數(shù)來分析這個問題。有些題，自己覺得會做了，所以覺得挺有信心的，但實際上沒有做對。或者說這個題解答題里有三個部分，只解答了其中的一個或者是兩個。還有一種可能性，可能答案對了，考題里經(jīng)常出現(xiàn)這種現(xiàn)象，他做題的這種方法，所用到的那些概念是錯誤的。這種情況下，他也不可能得到他應有的分數(shù)。從這些情況，可以這么說，我們同學在復習的時候，特別要注意基本概念，基本理論和基本方法。

    主持人：

    俞老師，您說到在復習中一定要注意基本知識的理解，但是怎么樣能夠檢驗自己對基本知識的理解呢？因為我們遇到很多考生都有這樣的一個問題，覺得自己對于書上的概念幾乎都能背下來，甚至也能記得住那些概念都在第幾頁，第幾行，但是真正到考場上的時候，怎么能夠驗證自己是否對這個基本概念有所理解呢？我聽您剛才講的意思是說，對于基礎概念的理解，可能是對于提高成績，解決問題的最有效的保障。但是在考試之前，同學們在復習過程當中，怎么能夠檢驗自己對基礎知識的理解，達到一個什么樣的程度？

    俞正光：

    我們說一個基本概念，你是不是理解它。不只是說你會不會背這個定義。定義只是和這個概念的初始表現(xiàn)，從數(shù)學上來說，是非常嚴格的。一個字一個字都是有所講究的，你把它背下來了，只能說你知道了有這么一個概念，但是這個概念，究竟是一個什么樣的概念，不完全只是從定義，逐個字摳一下解決的。一個概念應該從這么幾個角度。一個角度是這個概念是怎么提出來的，他是怎么產(chǎn)生的，產(chǎn)生的背景是什么。比如說一些概念，你不要把它背定義可能都會背。但是背完了之后你是不是理解，知不知道這個概念到底是什么意思。所謂線性相關，我們說的是有一個向量組，或者是單個向量構成一個向量組，線性相關的概念是討論這個向量組的一種性態(tài)，所謂整體的性態(tài)，我們知道，向量跟向量之間，有的向量跟向量之間，他們是有一定的線性聯(lián)系。就是說，它可以用其他的向量表示出來。但是有的向量是不能由其他向量來進行表示的。如果說，整個的向量組里，如果向量跟向量之間，都不能線性表示，或者是沒有一個向量能用其他的向量表示，那就意味著這些向量互相之間都是線性獨立的。它的背景實際上是這些向量之間沒有任何的線性依賴關系，另外一種是有線性依賴關系。所謂線性依賴關系是這個向量組里有一個向量能用其他向量表示，那就說明這個向量組里，向量和向量之間不是沒有關系的。你把這個理解的話，你對向量組的線性相關，線性無關這個性質，就不是很枯燥的。

    第三個，你一個概念，光這樣去理解，恐怕還是一個很抽象的概念。你不妨可以在二維的平面里，或者是三維空間里考。在二維平面里，兩個向量如果不是平行的或者不是共線的，這兩個向量互相之間是線性無關。如果在二維空間里，如果你有三個向量，你在紙面上隨便畫三個向量，這三個向量，如果兩個向量不平行的話，第三個向量一定可以通過平行四邊形法則把這三個向量聯(lián)系在一起。也就是說，這個向量可以用那兩個向量表示。你在理解一個概念的時候，除了會背定義之外，你還要有一些很形象的或者是一些幾何上的或者是一些數(shù)量上的背景來支撐你對這個概念的理解。

    第三，我們對一個概念，還要除了研究它的內涵以外，還要研究它的外延，線性代數(shù)里頭，概念和概念之間聯(lián)系是非常緊密的。就是說，你對同樣一個問題，我可以用線性相關，線性無關來理解。我也可以把這個問題轉化為一個矩陣的質來理解。你還可以把同樣一個問題轉化為一個線性方程組的問題來理解。當你對同樣一個問題，你用不同角度理解的時候，這個時候，你可能就會產(chǎn)生不同的思路，不同的方法。如果你在復習的時候，對一些題目，你都能做這種分解的話，慢慢的，你對整個問題，你就會有一種，不只是完全理論上的，遇到什么題就用什么方法，遇到什么題就用什么方法。你就會很靈活的知道遇到什么問題之后，通過什么途徑，很快的能夠拿下來。我們說的概念的理解，不完全只是背一下定義。背一下定義，這個不是很難的。但是你能不能正確理解，會不會正確的應用，說到概念，在復習里，你還要考慮一下，這個概念有什么用處，可以用來解決什么問題，在不同的問題里，這個概念又是用什么形式來表現(xiàn)。如果說你能夠把這些方面都搞清楚的話，我想你到考試的時候，就不會有太大問題。

    主持人：

    俞老師，我了解您是清華大學數(shù)學系主要從事線性代數(shù)這方面的教學工作，從歷年考題，包括結合今年考研大綱的變化，您能不能給我們考生大概說一說，今年的線性代數(shù)重點會在什么方面？今年的線性代數(shù)應該注意哪些特別的問題。

    俞正光：

    從線性代數(shù)來看，這幾年考試的題目、題型，基本上都有很多相似的地方，因為線性代數(shù)一共是五個題，從線性代數(shù)的內容上來說，我們分六個章，有行列式，有矩陣，有向量，有方程組，還有二次性問題，一般來說是六章。但是線性代數(shù)的考題一共就五個題。它在這五個題里，要把這六個部分的內容基本上覆蓋，我們考研，一個是考察基本概念，基本方法。另外一個是把考試大綱里的內容，大部分內容應該是得到覆蓋。對你的知識面是一個全面的考察。從這幾年的情況來看，基本上是兩個解答題。解答題是綜合應用各個部分的一些概念，一些基本知識，然后考察我們的分析問題，解決問題的能力。這幾年基本上的分配大概是這樣。一個大題，基本上是關于方程組或者是向量的線性表示，線性表示一轉化就成了一個線性方程組的問題，你從向量的角度來看，實際上是向量的線性相關和線性無關的問題。一個大題基本上是覆蓋了這樣一塊內容。另外一個大題基本上覆蓋了線性代數(shù)里另外一個很重要的也是應用性很廣的問題。特征質問題和二次型問題。二次型其實是一個二次齊次函數(shù)，二次型的問題實際上是討論一個矩陣的問題。實際上，特征質問題里的矩陣的對角化問題。另外一個題，基本上它的覆蓋面是特征質，這兩個問題其實是聯(lián)系在一起的。

    至于其他的一些基本概念，比如像線性相關，線性無關。像這種概念，一般來說，我們在考試里是非常重要的問題，在考試里一定會反映。這幾年主要的形式是通過選擇題的形式來加以考察�？疾煳覀儗�這些基本概念的理解以及一些簡單的邏輯推理。至于其他的，還有幾個比較重要的，一個是矩陣的初等變換，這是比較重要。從方法論來講，矩陣的初等變換是解決我們函數(shù)里的一系列的問題的基本方法�？梢杂懻撓蛄拷M里的向量的線性關系，還可以算線性方程組問題，從方法論上來說，線性變化是非常重要的，這個我們在復習的時候一定要特別重視，而且一定要練習得比較熟練。初等變換不只是一種方法，不只是在方法上有很重要的意義，其實從理論上來說，揭示了矩陣的很重要的性質。我們從考試大綱可以看出來，考試大綱從最初的只要掌握初等變化方法來算矩陣，而變成了要理解初等變換這個概念以及它的性質。這幾年考題里，比如像今年的考題里，數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三，數(shù)四，這四個都有同樣一道題，這道題就是一個矩陣經(jīng)過初等變換以后，考察它的一些性質的一道題。我們不只是從方法上要理解它，而且要掌握關于的初等變換。像其他的求矩陣的值，也可能通過一些獨立的小的題目出來，也可能會在一些綜合的題里頭考察。

    主持人：

    俞老師，有網(wǎng)友提問說，實際上我們數(shù)學的考試大綱一直都是分數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三，數(shù)四，從今年大綱的變化來看，特別是在線性代數(shù)大綱的內容，數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三，數(shù)四已經(jīng)沒有任何區(qū)別了。那是不是您可以在這里給我們同學做一個預測，將來我們數(shù)學的大綱數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三，數(shù)四的差別會越來越小。

    俞正光：

    我們從今年的情況來看，比如像線性代數(shù)，數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三，數(shù)四的內容和要求，基本上是一樣的。比如像概率的話，數(shù)一、數(shù)三，數(shù)四也比較接近。現(xiàn)在還沒有到像線性代數(shù)那么一致，但是也比較接近。這就反映了一個什么情況呢？數(shù)學作為我們學生，這是一種很基本的能力，我們主要是要來考察學生的數(shù)學的修養(yǎng)或者是數(shù)學的素質。所以我們在考試的內容上來說，慢慢的會趨向于越來越接近。另外從考題的情況來看，也是越來越共通。因為考察一個學生的能力，因為它不是一個數(shù)學競賽，不是去選拔一些有特殊能力的人，而是考研是選拔我們將來要培養(yǎng)高級人才的，從這個角度來說。所以我們在考題上，考察大家的情況來說，最主要的還是通過一些基本概念和基本方法�？茨氵@個基本概念是不是理解得很清楚。基本理論是不是理解得很透徹，在基本方法上，你是不是很熟練的來應用。而要考察這些方面，其實用不著出難題，我們可以看到這幾年的考題里基本上沒有什么難題。題目應該說比較容易，就像今年的考試一樣，考生的反映，覺得這個題很容易，對自己很有信心。盡管它是很容易，但是我們可以知道，通過考試的情況，還是能夠把考生的不同情況分離出來。因為考試是一個篩選的過程，要看你的基本概念掌握的是不是很熟練，運用的是不是很靈活，基本方法是不是掌握得很好。因為基本概念掌握好壞涉及到你對這道題，一個是用得對不對，第二，你是不是很靈活�？赡苁呛芎唵蔚念}，你可能做得很繁，也可能做得很簡單。你用五分鐘，十分鐘，他可能用兩分鐘，三分鐘就能做好。這樣就能把同學之間不同的素質差異分出來。