文登學(xué)校黃先開教授：解析2006年考研數(shù)學(xué)

　　黃先開：我想剛才這位網(wǎng)友可能很關(guān)心數(shù)學(xué)四用到的所謂麥克勞林展開的那種方法，大概有兩個地方。 一個地方是選擇題第一題，還有一個是相當(dāng)于第19題。其實(shí)這兩個題當(dāng)然可能網(wǎng)上有一些解答是按照這樣的方法來做的，其實(shí)這兩個題我自己認(rèn)為沒有必要用麥克勞林公式。像選擇題的第1題，也就是整個試卷的第7題，涉及到一個二級導(dǎo)數(shù)大于零，我們一般想到可能用到麥克勞林，但是對于我們考數(shù)三、數(shù)四大家知道公式又是步驟要求的，因此遇到這種情況我們在輔導(dǎo)的時候其實(shí)也多次的強(qiáng)調(diào)，其次典型的應(yīng)該用曲線的凹凸性，這個題用這個就可以找出來。

　　完全類似的像第19題，其實(shí)也沒有必要用麥克勞林公式，我們直接運(yùn)用這個極限的預(yù)算法則再加上其他的法則都可以輕松的把這個問題解答，所以我認(rèn)為數(shù)四不存在超綱的問題。

　　網(wǎng)友：請問數(shù)三最后一個題極大似然應(yīng)該怎么做？

　　主持人：由于訪談的局限性不能很清晰的演算過來，老師可以稍微提一下用什么方法。

　　黃先開：這個考生是提到了今年整個數(shù)學(xué)考試?yán)锩嫖艺J(rèn)為比較創(chuàng)新的一個題，確實(shí)也是整個試卷難度比較大的地方，這個數(shù)一里面也出現(xiàn)了。因?yàn)槠綍r大家做題的時候都沒有出現(xiàn)概率密度函數(shù)是分三段的，一般情況下最多是分兩段，所以這個題用極大似然估計(jì)求這樣一個參數(shù)，實(shí)際上我認(rèn)為還是涉及到你對這個概念的理解。因?yàn)闃O大似然估計(jì)我們要找的是聯(lián)合概率密度函數(shù)取到最大值的時候我去反求參數(shù)，所以對于這個題來講首先我要理解聯(lián)合密度概率函數(shù)實(shí)際上等于邊緣概率密度函數(shù)相乘的，所以怎么把聯(lián)合密度函數(shù)乘起來，這涉及到分段函數(shù)相乘。但是這個題的條件告訴你樣本點(diǎn)取0到1的時候大N個，所以我找聯(lián)合密度函數(shù)的時候這個大N個的我們是清楚的。剩下就是小N減大N個，這樣你把它乘起來得到一個，你再用通常的方法估計(jì)這個參數(shù)就可以了。

　　網(wǎng)友：數(shù)二的不等式證明題，把題目看錯了將左右兩邊看錯為統(tǒng)一形式，僅證明了F（b）大于F（a），會怎么評分？

　　黃先開：這個題現(xiàn)在我們還沒有一個完整的真正的標(biāo)準(zhǔn)的試卷，大家只是通過監(jiān)考過程中了解的一些信息，我們也發(fā)現(xiàn)在網(wǎng)上不同的版本對這個不等式的表述形式是不完全一樣的，所以這個題實(shí)際上從我了解的情況來看兩邊應(yīng)該是對稱的，所以剛才這位網(wǎng)友提這個問題應(yīng)該是沒有問題的。因?yàn)槲覜]有看到完整的原始的題是什么樣，但是如果兩邊不對稱這個題實(shí)際上是沒有辦法證明的，所以兩邊一對稱你用參數(shù)變異的方法找一個參數(shù)去換都可以，然后求兩次導(dǎo)數(shù)，兩次導(dǎo)數(shù)是對號的，最后用單調(diào)性很輕松的就可以證明出來了。

　　主持人：我們也知道現(xiàn)在網(wǎng)上的版本不一樣，答案也不一定都是非常標(biāo)準(zhǔn)的，我們看到現(xiàn)在又有網(wǎng)友提問，請你整體說一下數(shù)一。

　　那請老師分別針對數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三、數(shù)四，根據(jù)考試的情況給我們分析一下吧。

　　黃先開：剛才主持人也說了，因?yàn)槲覀兊哪玫降念}不見得和原題完全一致，所以對所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案也很難做到標(biāo)準(zhǔn)，我利用這個機(jī)會給大家簡單的分析一下。

　　數(shù)學(xué)一首先第15大題，作為一個二重積分的計(jì)算題應(yīng)該說是很基礎(chǔ)的。大家也知道由于我們的積分區(qū)域是具有對稱性的，所以馬上想到我這個倍減函數(shù)的奇偶性，我們在運(yùn)算性其中的一部分具有奇偶性，所以整個后面一部分就不要去算它了，剩下的是一個典型的利用極坐標(biāo)來計(jì)算的情況。這個題的答案我認(rèn)為應(yīng)該是二分之一派乘上LM2。這應(yīng)該是一個基本題，實(shí)際上這塊我們輔導(dǎo)的時候也給大家強(qiáng)調(diào)過，除了極坐標(biāo)下如何來計(jì)算二重積分，二重積分里面的一些變化情況，就是積分區(qū)域具有倍份性我想到奇偶性。第二，如果積分區(qū)域不具有倍份性，但是有奇偶性，我們可以思考能不能進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆謩e，我再利用這個來做。

　　今年考的這個題應(yīng)該說是第一部分處理了一個簡單的用一下這種技巧就可以很方便的把答案算出來。

　　數(shù)學(xué)一的第16大題，實(shí)際上是用公式給出來我們的數(shù)列，這個時候標(biāo)準(zhǔn)方法單調(diào)有極限來做，首先證明極限存在，然后假設(shè)這個極限是多少，在公式里邊同時找極限，找到這個極限應(yīng)該是等于零。

　　第二步再來計(jì)算一個冪指函數(shù)的極限，這個冪指函數(shù)明顯的是等于一，作為冪指函數(shù)如果極限是一可以很簡單的，大家都知道輔導(dǎo)時候我們都知道是指數(shù)函數(shù)從而很方便的計(jì)算出來。這個答案應(yīng)該是一的負(fù)六分之一次冪。

　　數(shù)一的第7題，把一個函數(shù)轉(zhuǎn)為X的冪級數(shù)。大家知道在冪極數(shù)這部分主要考點(diǎn)考兩個，一個是給一個數(shù)求，另外一個是給一個函數(shù)轉(zhuǎn)為冪極數(shù)。轉(zhuǎn)為冪極數(shù)有一個方法，一個是直接法，一個是間接法，這個我們也特別強(qiáng)調(diào)，實(shí)際考試一般都考間接法，這個函數(shù)也是一樣的，只要適當(dāng)?shù)娜シ纸�，最后都是用一個最簡單的一減X分之一，這個函數(shù)轉(zhuǎn)為冪極數(shù)來討論就可以。

　　在這個題里頭大家應(yīng)該注意到收斂區(qū)間，因?yàn)槲覀儼阉�分成了幾部分，幾部分的收斂區(qū)間不完全一致，所以我們應(yīng)該找它的公共部分。

　　數(shù)一的第18題，實(shí)際上可以看作是一個稍微綜合一點(diǎn)的問題。首先涉及到二級偏倒數(shù)的計(jì)算，這應(yīng)該是一個基本要求，引出一個微分方程。這個微分方程可以把它看作是可降階的，也可以使直接等式的兩邊同時乘上一個U，然后把左邊湊成某一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接積分。最后找到FU答案應(yīng)該是LMU。

　　其實(shí)類似的問題只要參加過輔導(dǎo)的同學(xué)印象應(yīng)該比較深，其次在搜狐網(wǎng)站也掛了我們文登學(xué)校四套模擬題，大家看第三套模擬題第18題跟這個是完全類似的。

　　數(shù)一第19題，是涉及到第二類曲線積分的計(jì)算或者說是證明。要求證明在任何一個分段光滑的簡單曲線上第二類曲線為零，大家知道用格林公式，涉及到偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。告訴我們的條件是類似于一個函數(shù)，所以只要把條件的等式兩邊同時計(jì)算導(dǎo)數(shù)，再令這個級等于一，這樣與兩個偏倒數(shù)剛好是相同的，從而證明我們需要的這樣一個結(jié)論。

　　類似這樣的題在陳老師編的復(fù)習(xí)指南里也有。

　　數(shù)一第20題，這個題還稍微有一點(diǎn)特別，告訴我們分其次方程有三個線性無關(guān)的解，要證明系數(shù)舉證的次數(shù)等于零。大家可以發(fā)現(xiàn)質(zhì)至少是2，因?yàn)楦鶕?jù)質(zhì)的兩個定義方法，第一行、第二行無關(guān)，所以這個舉證至少為2。也可以看到至少有一個2階指數(shù)為0，所以至少為2。問題是我這個為什么小于等于2，復(fù)習(xí)的時候如果大家注意到這兩點(diǎn)，告訴你非其次方程有三個現(xiàn)在無關(guān)的解，也就是告訴你其次方程有兩個線性無關(guān)的解，從而導(dǎo)數(shù)這個條件。事實(shí)上我們輔導(dǎo)的時候也特別強(qiáng)調(diào)，只要見到了線性方程組我們應(yīng)該思考對應(yīng)的質(zhì)，這剛好利用其次線像方程這樣就聯(lián)系起來了。所以這個題的核心就是我對應(yīng)的其次線性方程有多少個線性無關(guān)的解，但是也可以按照解的性質(zhì)，兩個非其次方程的解相減以后是其次方程的解。假設(shè)非其次方程有三個線性無關(guān)的解比如說阿爾法1，或者簡單的寫A1、A2、A3，那好了都是無關(guān)的解了，它的系數(shù)舉證應(yīng)該滿足條件，從而證明我這個質(zhì)等于2。有些時候在考試的時候，即使不能完全的證明出來，但是像關(guān)鍵步驟寫出來了我們也是可以得分的。

　　第二部分求A和B的質(zhì)再求通解，這就回到我們常規(guī)的問題來了。這個地方算出來A是等于2，1應(yīng)該等于負(fù)3。

　　數(shù)一的第21題，也是線性代數(shù)里考得比較靈活的一個題，是求特定向量，但是又沒有給告訴我們舉證A的具體元素，這種題我們看作是抽象來求值。其實(shí)在這里頭輔導(dǎo)的時候我們也說了，抽象取證來考慮特征值有四個可以說等價(jià)的形式，一個形式是利用行列式等于零，第二個形式是利用舉證的質(zhì)，第三個是利用方程組的解，第四個直接利用向量的定義。平時我們見的比較多的都是第四種情況，這四個知識點(diǎn)如果我們能夠連貫起來這個地方出題就可以很靈活了，所以這個在復(fù)習(xí)過程中其實(shí)是值得大家特別注意的。

　　這個題如果大家上一下搜狐網(wǎng)去搜索一下我們文登學(xué)校的四套模擬題可以找一下第四套，因?yàn)檫@個題今年的數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三、數(shù)四都考了同一個題，如果把我們第四套模擬題里的填空題再加上線性的大題來看，剛好把這個題的問題可以說都包含進(jìn)去了。也就是說這種典型的思想在這個模擬題里都很好的體現(xiàn)出來了。因?yàn)樗押�網(wǎng)還有文登學(xué)校的模擬題大家可以看一下數(shù)四的這套題。

　　首先得到的是每行元素之合是等于3，我們輔導(dǎo)的時候也說了，告訴我們兩個線性無關(guān)解的向量，相當(dāng)于告訴我們有兩個0的值，對于的是向量，所以特征值是300，對應(yīng)向量也出來了，然后把阿爾法1、2，因?yàn)楸旧聿皇钦�交，我們把它正交化就�?gòu)成我們的正交取證。

　　考數(shù)三、數(shù)四還有一個步，要求舉證一。數(shù)三、數(shù)四還涉及到求某一個舉證的高次冪，這個大家可以稍微注意一下，我們發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上提供的信息和我們的試卷是有差別的，應(yīng)該求這個舉證的6次冪，但是我們很多網(wǎng)上的版本里沒有這個舉證的高次冪。其次再利用對角化求多次冪也是比較常規(guī)的了。

　　作為一個X平方去求概率密度這是一個基礎(chǔ)問題，也就是說隨機(jī)變量的函數(shù)求分?jǐn)?shù)，這個地方通過定義先找出X平方它的值域范圍，再根據(jù)概率密度函數(shù)，把負(fù)1、2、3帶到這個表達(dá)式里面，我們可以得到三個點(diǎn)，所以求這個概率密度的時候我們是要分四段來討論。這也是我們上課輔導(dǎo)的時候特別強(qiáng)調(diào)的處理技巧，這一點(diǎn)如果沒有這樣去思考可能個別同學(xué)會有一定的難度。

　　其次求級方差，算出來的結(jié)果大家可以去參考應(yīng)該是三分之二，最后求一個求出來的答案應(yīng)該是四分之一，相當(dāng)于直接求概率就可以。

　　23題剛才有一位網(wǎng)友已經(jīng)問到了，這是今年數(shù)一里面難度最大的一個題，這個題可以看作一個新的題型，但是本質(zhì)上還是你是不是理解了極大似然的核心估計(jì)是什么，你找出來再去求級次這個問題就解決了。