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(3)隨機(jī)變量的期望值和方差
期望值是隨機(jī)變量的概率加權(quán)和。隨機(jī)變量的方差描述了隨機(jī)變量偏離其期望值的程度。方差是隨機(jī)變量取值偏離期望值的概率加權(quán)和。
.二項分布
二項分布是描述只有兩種可能結(jié)果的多次重復(fù)事件的離散型隨機(jī)變量的概率分布。
二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差:E(X)=mp,Var(X)=np(1-p)。
3.正態(tài)分布
正態(tài)隨機(jī)變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為0.95,而在距均值的距離為3倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的概率約為0.9973。
當(dāng)μ=0,σ=1時,稱正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
在風(fēng)險計量的理論研究和實際應(yīng)用中,正態(tài)分布起著特別重要的作用。實際中遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似地服從正態(tài)分布。
【例題】
正態(tài)分布的圖形特征是(A)。
A.中間高,兩邊低,左右對稱
B.左高右低
C.右高左低
D.中間低,兩邊高,左右對稱
【例題】
正態(tài)隨機(jī)變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為(B)。
A.68%
B.95%
C.32%
D.50%
1.6 風(fēng)險管理的數(shù)理基礎(chǔ)
1.6.1 收益的計量
1.絕對收益
絕對收益是對投資成果的直接衡量,反映投資行為得到的增值部分的絕對量。
絕對收益=P-P0
最常用的兩種相對收益計量方法是百分比收益率和對數(shù)收益率。
2.百分比收益率
百分比收益率是對期初投資額的一個單位化調(diào)整,即一個單位貨幣在給定投資周期的收益率
百分比收益率只考慮了期初的投資額,沒有考慮不同投資期限的影響。
背景知識:計算資產(chǎn)組合收益率
資產(chǎn)組合的百分比收益率等于各資產(chǎn)百分比收益率的加權(quán)平均。對于包含N種資產(chǎn)的投資組合,總資產(chǎn)的百分比收益率為:
3.對數(shù)收益率
當(dāng)復(fù)利是連續(xù)計算時,就得到對數(shù)收益率。對數(shù)收益率是兩個時期資產(chǎn)價值取對數(shù)后的差額:
1.預(yù)期收益率和方差的計算
風(fēng)險管理過程中所計算的預(yù)期收益率是一種平均水平的概念,但不是簡單的直接平均,而是對未來可能結(jié)果的加權(quán)平均,即每一種結(jié)果的收益率乘以這種結(jié)果出現(xiàn)的可能性。
不確定結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差通常被用來刻畫其不確定程度,標(biāo)準(zhǔn)差越大表明不確定性越大,即出現(xiàn)較大收益或損失的機(jī)會增大。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差很小或接近于零時,可能出
2.風(fēng)險分散的原理
投資者在預(yù)期收益相同的條件下,愿意投資風(fēng)險(標(biāo)準(zhǔn)差)更小的資產(chǎn);而在相同的風(fēng)險水平,希望得到收益更高的資產(chǎn)。如果兩種資產(chǎn)的預(yù)期收益分別為R1和R2,每一種資產(chǎn)的投資權(quán)重分別為W1和W2=1-W1,則該組合投資的預(yù)期收益為Rp=W1R1+W2R2。如果兩種資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ1和σ2,則該組合的標(biāo)準(zhǔn)差為:
相關(guān)系數(shù)ρ是一個絕對值小于1的數(shù)。在兩種資產(chǎn)之間的收益率變化不完全相關(guān),即ρ<1時,用標(biāo)準(zhǔn)差度量的加權(quán)組合資產(chǎn)的風(fēng)險小于各資產(chǎn)風(fēng)險加權(quán)和,體現(xiàn)了組合投資降低和分散風(fēng)險的作用。
3.風(fēng)險分散的數(shù)理邏輯
上述分析中假設(shè)各家公司的違約彼此不存在相關(guān)性。實踐中,由于宏觀或行業(yè)等共同因素作用會使公司違約存在一定的相關(guān)性。如果相關(guān)性存在,則風(fēng)險分散的結(jié)果會有所變化:當(dāng)相關(guān)性為正則分散效果變差,當(dāng)相關(guān)性為負(fù)則分散效果更好。為了使違約的相關(guān)性盡可能低,通常需要將貸款分布到不同的行業(yè)或地域。由此可見,商業(yè)銀行通過實施風(fēng)險分散的貸款策略,可以使發(fā)生大額損失的可能性顯著降低,這也正是商業(yè)銀行利用自身風(fēng)險管理的優(yōu)勢,通過對風(fēng)險進(jìn)行分配而達(dá)到管理和降低風(fēng)險、保持穩(wěn)定收益的目的。
1.6.3 風(fēng)險敏感性分析的泰勒展式
風(fēng)險管理的主要任務(wù)就是評價各種風(fēng)險因素的變化對資產(chǎn)價值的影響。
1.變化率和導(dǎo)數(shù)
風(fēng)險因素的變化程度不大時,資產(chǎn)價值的變化率就是函數(shù)關(guān)于風(fēng)險因素的一階導(dǎo)數(shù):
2.泰勒展式的近似程度
泰勒展式的近似效果與使用多少階導(dǎo)數(shù)有關(guān),也以離開給定點的距離有關(guān)。
現(xiàn)的結(jié)果的不確定性程度減小。
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