(3)隨機(jī)變量的期望值和方差

　　期望值是隨機(jī)變量的概率加權(quán)和。隨機(jī)變量的方差描述了隨機(jī)變量偏離其期望值的程度。方差是隨機(jī)變量取值偏離期望值的概率加權(quán)和。

　　.二項分布

　　二項分布是描述只有兩種可能結(jié)果的多次重復(fù)事件的離散型隨機(jī)變量的概率分布。

　　二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差：E(X)=mp，Var(X)=np(1-p)。

　　3.正態(tài)分布

　　正態(tài)隨機(jī)變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為0.95，而在距均值的距離為3倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的概率約為0.9973。

　　當(dāng)μ=0，σ=1時，稱正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

　　在風(fēng)險計量的理論研究和實際應(yīng)用中，正態(tài)分布起著特別重要的作用。實際中遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似地服從正態(tài)分布。

　　【例題】

　　正態(tài)分布的圖形特征是(A)。

　　A.中間高，兩邊低，左右對稱

　　B.左高右低

　　C.右高左低

　　D.中間低，兩邊高，左右對稱

　　【例題】

　　正態(tài)隨機(jī)變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為(B)。

　　A.68%

　　B.95%

　　C.32%

　　D.50%

　　1.6 風(fēng)險管理的數(shù)理基礎(chǔ)

　　1.6.1 收益的計量

　　1.絕對收益

　　絕對收益是對投資成果的直接衡量，反映投資行為得到的增值部分的絕對量。

　　絕對收益=P-P0

　　最常用的兩種相對收益計量方法是百分比收益率和對數(shù)收益率。

　　2.百分比收益率

　　百分比收益率是對期初投資額的一個單位化調(diào)整，即一個單位貨幣在給定投資周期的收益率

　　百分比收益率只考慮了期初的投資額，沒有考慮不同投資期限的影響。

　　背景知識：計算資產(chǎn)組合收益率

　　資產(chǎn)組合的百分比收益率等于各資產(chǎn)百分比收益率的加權(quán)平均。對于包含N種資產(chǎn)的投資組合，總資產(chǎn)的百分比收益率為：

　　3.對數(shù)收益率

　　當(dāng)復(fù)利是連續(xù)計算時，就得到對數(shù)收益率。對數(shù)收益率是兩個時期資產(chǎn)價值取對數(shù)后的差額：

　　1.預(yù)期收益率和方差的計算

　　風(fēng)險管理過程中所計算的預(yù)期收益率是一種平均水平的概念，但不是簡單的直接平均，而是對未來可能結(jié)果的加權(quán)平均，即每一種結(jié)果的收益率乘以這種結(jié)果出現(xiàn)的可能性。

　　不確定結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差通常被用來刻畫其不確定程度，標(biāo)準(zhǔn)差越大表明不確定性越大，即出現(xiàn)較大收益或損失的機(jī)會增大。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差很小或接近于零時，可能出

　　2.風(fēng)險分散的原理

　　投資者在預(yù)期收益相同的條件下，愿意投資風(fēng)險(標(biāo)準(zhǔn)差)更小的資產(chǎn);而在相同的風(fēng)險水平，希望得到收益更高的資產(chǎn)。如果兩種資產(chǎn)的預(yù)期收益分別為R1和R2，每一種資產(chǎn)的投資權(quán)重分別為W1和W2=1-W1，則該組合投資的預(yù)期收益為Rp=W1R1+W2R2。如果兩種資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ1和σ2，則該組合的標(biāo)準(zhǔn)差為：

　　相關(guān)系數(shù)ρ是一個絕對值小于1的數(shù)。在兩種資產(chǎn)之間的收益率變化不完全相關(guān)，即ρ<1時，用標(biāo)準(zhǔn)差度量的加權(quán)組合資產(chǎn)的風(fēng)險小于各資產(chǎn)風(fēng)險加權(quán)和，體現(xiàn)了組合投資降低和分散風(fēng)險的作用。

　　3.風(fēng)險分散的數(shù)理邏輯

　　上述分析中假設(shè)各家公司的違約彼此不存在相關(guān)性。實踐中，由于宏觀或行業(yè)等共同因素作用會使公司違約存在一定的相關(guān)性。如果相關(guān)性存在，則風(fēng)險分散的結(jié)果會有所變化：當(dāng)相關(guān)性為正則分散效果變差，當(dāng)相關(guān)性為負(fù)則分散效果更好。為了使違約的相關(guān)性盡可能低，通常需要將貸款分布到不同的行業(yè)或地域。由此可見，商業(yè)銀行通過實施風(fēng)險分散的貸款策略，可以使發(fā)生大額損失的可能性顯著降低，這也正是商業(yè)銀行利用自身風(fēng)險管理的優(yōu)勢，通過對風(fēng)險進(jìn)行分配而達(dá)到管理和降低風(fēng)險、保持穩(wěn)定收益的目的。

　　1.6.3 風(fēng)險敏感性分析的泰勒展式

　　風(fēng)險管理的主要任務(wù)就是評價各種風(fēng)險因素的變化對資產(chǎn)價值的影響。

　　1.變化率和導(dǎo)數(shù)

　　風(fēng)險因素的變化程度不大時，資產(chǎn)價值的變化率就是函數(shù)關(guān)于風(fēng)險因素的一階導(dǎo)數(shù)：

　　2.泰勒展式的近似程度

　　泰勒展式的近似效果與使用多少階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，也以離開給定點的距離有關(guān)。

　　現(xiàn)的結(jié)果的不確定性程度減小。

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