同素分堆問(wèn)題是求方法數(shù)問(wèn)題的一種基本題型。它的最基本的模型是：
“把n個(gè)相同的元素分成m堆，每堆至少1個(gè)，問(wèn)有多少中不同的分法?”
這里的“同素”即“相同的元素”，在這個(gè)模型中，最關(guān)鍵的是“每堆至少1個(gè)”這句話，必須是每堆至少一個(gè)，才可用我們接下來(lái)要講的解決這類(lèi)問(wèn)題的方法：隔板法。
【例1】把10本相同的書(shū)分給3個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)，問(wèn)有多少種不同的分法?
【思路】本題中“同素”：是10本相同的書(shū)，故n=10;
分給3個(gè)班級(jí)：即將書(shū)分成3堆，故m=3;
每班至少1本。
故本題為同素分堆問(wèn)題的最基本的模型。
解決方法：隔板法。把10本書(shū)排成一排，因?yàn)闀?shū)是相同的，不存在排列順序問(wèn)題。
要把這10本書(shū)分成三堆，只要在這10本書(shū)形成的空隙中插入2個(gè)隔板即可。10本書(shū)排成一排，形成了11個(gè)空。但是，因?yàn)橐竺堪嘀辽俜忠槐緯?shū)，所以最前面的空和最后一個(gè)空是不能插板的，則只能在中間形成的9個(gè)空中插入2個(gè)隔板，即從9個(gè)空中選擇2個(gè)空插入隔板。然而，到底選擇的2個(gè)空插入隔板是用排列還是組合呢?
【解析】由于兩個(gè)隔板的放置的位置不同就已經(jīng)體現(xiàn)了三個(gè)班級(jí)分得書(shū)本數(shù)的可能性，故只要在9個(gè)空中選2個(gè)位置放隔板即可，不需要選完之后再排列，用組合即可，即隔板的放置方法共有 種，也即把10本相同的書(shū)分給3個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)，共有 種方法。
【總結(jié)】把n個(gè)相同的元素分成m堆，每堆至少1個(gè)，有 不同的分法。
然而，行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算部分關(guān)于此知識(shí)點(diǎn)的考查往往是基本模型的變形的形式。和基本模型的主要區(qū)別在于，題干中所給的條件不在是“每堆至少1個(gè)”，而是“每堆至少多于1個(gè)”，當(dāng)問(wèn)題這樣變形后，就不能直接用隔板法解決了。
【例2】把10本相同的書(shū)分給3個(gè)班級(jí)，每班至少2本，問(wèn)有多少種不同的分法?
【解析】這個(gè)問(wèn)題中，在分書(shū)時(shí)，要求的是“每班至少2本”。我們說(shuō)，在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問(wèn)題時(shí)，要求必須是“每堆至少1個(gè)”。為此，解決不是“每堆至少1個(gè)”的同素分堆問(wèn)題時(shí)，我們用轉(zhuǎn)化的思想。即想辦法把“每班至少多于1個(gè)”轉(zhuǎn)化成“每堆至少1個(gè)”，再應(yīng)用隔板法解題。
本題中就可以通過(guò)先每班分一本書(shū)，然后還剩7本書(shū)，所以本題就轉(zhuǎn)化為：
“把7本相同的書(shū)分給3個(gè)班級(jí)，每班至少一本，問(wèn)有多少中不同的分法?”
應(yīng)用隔板法：n=7，m=3，故有 種不同的分法。
【總結(jié)】在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問(wèn)題時(shí)，一定要區(qū)分題干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1個(gè)”，可直接應(yīng)用隔板法解題;如果“每堆至少分的多于1個(gè)”，則應(yīng)該將其轉(zhuǎn)化為“每堆至少分1個(gè)”的情況，再應(yīng)用隔板法。
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