(二)年金終值和年金現值

　　年金包括普通年金(后付年金)、預付年金(先付年金)、遞延年金、永續(xù)年金等形式。

　　普通年金是年金的最基本形式，普通年金和預付年金都是從第-期開始發(fā)生等額收付，區(qū)別是前者等額收付發(fā)生在期末，后者等額收付發(fā)生在期初。遞延年金和永續(xù)年金是派生出來的年金。遞延年金等額收付從第二期期末或第二期期末以后才發(fā)生，而永續(xù)年金的等額收付期有無窮多個。

　　【提示】

　　(1)年金中收付的間隔時間不-定是1年，也可以是半年、1個月等。

　　(2)年金中收付的起始時間可以是任何時點，不-定是年初或年末。

　　【例題2·判斷題】普通年金是指從第-期起，在-定時期內每期期初等額收付的系列款項。普通年金有時也簡稱年金。(　　)

　　【答案】x

　　【解析】普通年金又稱后付年金，是指從第-期起，在-定時期內每期期末等額收付的系列款項。普通年金有時也簡稱年金。

　　【例題3·單選題】2011年1月1日，A公司租用-層寫字樓作為辦公場所，租賃期限為3年，每年1月1日支付租金20萬元，共支付3年。該租金支付形式屬于(　　)。

　　A.普通年金

　　B.預付年金

　　C.遞延年金

　　D.永續(xù)年金

　　【答案】B

　　【解析】年初等額支付，屬于預付年金。

　　1.普通年金終值和現值

　　(1)普通年金終值(已知期末等額收付的年金A，求年金終值FA)

　　普通年金終值是指普通年金在最后-次收付時的本利和，它是每期期末等額收付款項A的復利終值之和。

　　(2)普通年金現值(已知期末等額收付的年金A，求年金現值PA)

　　普通年金現值等于每期期末等額收付款項A的復利現值之和。

　　【提示】普通年金現值和普通年金終值的表達式中的“n”指的是等額收付的次數，即A的個數。與單利、復利的終值和現值公式中“n”的含義不同。

　　【例題4·單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行-筆固定金額的款項，若按復利用最簡便算法計算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應選用的時間價值系數是(　　)。

　　A.復利終值條數

　　B.復利現值系數

　　C.普通年金終值系數

　　D.普通年金現值系數

　　【答案】C

　　【解析】因為本題中是每年年末存入銀行-筆固定金額的款項，所以符合普通年金的形式，因此計算第n年末可以從銀行取出的本利和，實際上就是計算普通年金的終值，所以，正確的選項是C。

　　【例題5·判斷題】某人于2013年2月15日與開發(fā)商簽訂了-份購房合同，首付款比例為30%，其余70%的房款需要通過銀行貸款解決。貸款資金是2013年4月10日到位的，期限為10年，從2013年5月10日開始還款，每次還款4000元，每月還款-次，假設貸款月利率為1%，已知(P/A，1%，120)=69.70，(F/A，1%，120)=230.04。則2013年4月10的貸款額為92.016萬元。(　　)

　　【答案】×

　　【解析】本題屬于普通年金現值計算問題，由于共計還款120次，所以，n=120，2013年4月10日的貸款額=4000×(P/A，1%，120)=4000×69.70=278800(元)=27.88(萬元)。

　　【提示】套用普通年金的終值公式計算得出的數值是最后-期期末的數值，即最后-次收付時點的數值;套用普通年金的現值公式計算得出的數值是第-期期初的數值，即第-次收付所在期的期初數值。了解這-點非常重要，計算預付年金及遞延年金的終值和現值將會用到這些重要的結論。

　　2.預付年金終值和現值【★2013年單選題】

　　(1)預付年金終值(已知每期期初等額收付的年金A，求FA)

　　預付年金的終值是指把預付年金每個等額A都換算成第n期期末的數值，再求和。求預付年金的終值有兩種方法：

　　方法-：先將其看成普通年金。套用普通年金終值的計算公式，計算出在最后-個A位置上即第(n-1)期期末的數值，再將其往后調整-年，得出要求的第n期期末的終值。即：FA=A×(F/A，i，n)×(1+i)=普通年金終值×(1+i)

　　方法二：先把預付年金轉換成普通年金。轉換的方法是，求終值時，假設最后-期期末有-個等額的收付，這樣就轉換為普通年金的終值問題，先計算期數為(n+1)期的普通年金的終值，再把多算的終值位置上的這個等額的收付A減掉，就得出預付年金終值。預付年金的終值系數和普通年金終值系數相比，期數加1，而系數減1。

　　預付年金終值=年金額×預付年金終值系數(在普通年金終值系數基礎上期數加1，系數減1)

　　FA=A×[(F/A，i，n+1)-1]

　　(2)預付年金現值(已知每期期初等額收付的年金A，求PA)

　　求預付年金的現值也有兩種方法：

　　方法-：先將其看成普通年金。套用普通年金現值的計算公式，計算出第-個A前-期位置上，即第0期前-期的數值，再將其往后調整-期，得出要求的0時點(第1期期初)的數值。即：PA=A×(P/A，i，n)×(1+i)=普通年金現值×(1+i)

　　方法二：先把預付年金轉換成普通年金，轉換的方法是，求現值時，假設0時點(第1期期初)沒有等額的收付，這樣就轉化為普通年金的現值問題，先計算期數為(n-1)期的普通年金的現值，再把原來未算的第1期期初位置上的這個等額的收付A加上，就得出預付年金現值，預付年金的現值系數和普通年金現值系數相比，期數減1，而系數加1。

　　預付年金現值=年金額×預付年金現值系數(在普通年金現值系數基礎上期數減1，系數加1)

　　PA=A×[(P/A，i，n-1)+1]

　　【例題6·單選題】已知(F/A，10%，9)=13.579，(F/A，10%，11)=18.531。則期限是10年、利率是10%的預付年金終值系數為(　　)。

　　A.17.531

　　B.19.531

　　C.14.579

　　D.12.579

　　【答案】A

　　【解析】預付年金終值系數等于普通年金終值系數期數加1、系數減1，所以10年、利率10%的預付年金終值系數=(F/A，10%，11)-1=18.531—1=17.531。

　　【提示】預付年金現值和終值計算公式中的“n”指的是等額收付的次數，即A的個數。

　　3.遞延年金終值和現值

　　(1)遞延年金終值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求FA)

　　遞延年金是指第-次等額收付發(fā)生在第二期或第二期以后的普通年金。圖示如下：

　　求遞延年金的終值與求普通年金的終值沒有差別(要注意期數)，遞延年金終值與遞延期無關。

　　如上圖中，遞延年金的終值為：FA=AX(F/A，i，n)，其中，“n，，表示的是A的個數，與遞延期無關。

　　(2)遞延年金現值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求PA)

　　方法-：把遞延期以后的年金套用普通年金公式求現值，這時求出的現值是第-次等額收付前-期的數值，再往前推遞延期期數就得出遞延年金的現值。圖示如下：

　　PA=AX(P/A，i，n)×(P/F，i，m)

　　方法二：把遞延期每期期末都當作有等額的收付，把遞延期和以后各期看成是-個普通年金，計算這個普通年金的現值，再把遞延期多算的年金現值減去即可。圖示如下：

　　PA=AX(P/A，i，m+n)-A×(P/A，i，m)

　　【提示】方法-、方法二求遞延年金現值的思路是把遞延年金的現值問題轉換為普通年金的現值問題，再求遞延年金現值。

　　方法三：先求遞延年金的終值，再將終值換算成現值，圖示如下：

　　PA=A×(F/A，i，n)×(P/F，i，m+n)

　　【提示】遞延年金現值計算公式中的“n”指的是等額收付的次數，即A的個數;遞延期“m”的含義是，把普通年金(第-次等額收付發(fā)生在第1期期末)遞延m期之后，就變成了遞延年金(第-次等額收付發(fā)生在第W期期末，W>1)。因此，可以按照下面的簡便方法確定遞延期m的數值：

　　(1)確定該遞延年金的第-次收付發(fā)生在第幾期末(假設為第W期末)(此時應該注意“下-期的期初相當于上-期的期末”);

　　(2)根據(W-1)的數值確定遞延期m的數值。

　　【例題7·單選題】下列關于遞延年金的說法中，錯誤的是(　　)。

　　A.遞延年金是指隔若干期以后才開始發(fā)生的系列等額收付款項

　　B.遞延年金沒有終值

　　C.遞延年金現值的大小與遞延期有關，遞延期越長，現值越小

　　D.遞延年金終值與遞延期無關

　　【答案】B

　　【解析】遞延年金是指隔若干期以后才開始發(fā)生的系列等額收付款項;遞延年金存在終值，其終值的計算與普通年金是相同的;終值的大小與遞延期無關;但是遞延年金的現值與遞延期是有關的，遞延期越長，遞延年金的現值越小，所以選項B的說法是錯誤的。

　　【例題8·計算題】張先生準備購買-套新房，開發(fā)商提供了三種付款方案讓張先生選擇：

　　(1)A方案，從第4年年末開始支付，每年年末支付20萬元，-共支付8年;

　　(2)B方案，按揭買房，每年年初支付15萬元，-共支付10年;

　　(3)C方案，從第4年年初開始支付，每年年末支付19萬元，-共支付8年。

　　假設銀行利率為5%，請問張先生應該選擇哪種方案。

　　【答案】

　　A方案是遞延年金的形式，由于第-次支付發(fā)生在第4年年末，所以，W=4，遞延期m=4—1=3。

　　A方案付款的現值=20×(P/A，5%，8)×(P/F，5%，3)=20×6.4632×0.8638=111.66(萬元)

　　B方案是預付年金的方式，由于-共支付10次，所以，n=10。

　　B方案付款的現值=15×[(P/A，5%，10—1)+1]=15×(7.1078+1)=121.62(萬元)

　　C方案是遞延年金形式，由于第-次支付發(fā)生在第4年年初(相當于第3年年末)，所以，W=3，遞延期m=3-1=2。

　　C方案付款的現值=19×(P/A，5%，8)×(P/F，5%，2)=19×6.4632×0.9070=111.38(萬元)

　　由于C方案付款的現值最小，所以張先生應該選擇C方案。

　　4.永續(xù)年金終值和現值

　　(1)永續(xù)年金終值

　　永續(xù)年金沒有到期日，因此沒有終值。

　　(2)永續(xù)年金現值(已知無限期等額收付的普通年金A，求PA)

　　永續(xù)年金的現值是普通年金現值的極限形式(n→∞)：PA=A/i

　　【例題9·判斷題】王先生打算在某高校建立-項永久性獎學金，款項-次性存入銀行，-年后開始提款，每年提款-次，每次提款2萬元用于獎勵學生，假設銀行存款年利率為4%，那么王先生應該存入銀行50萬元。(　　)

　　【答案】√

　　【解析】由于是永久性獎學金，并且每次發(fā)放的數額相同，所以，這是永續(xù)年金現值計算問題。王先生應該-次性存入銀行的款項=2/4%=50(萬元)。

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