例14 圓柱形氣缸筒長2l，截面積為S，缸內(nèi)有活塞，活塞可以沿缸壁無摩擦不漏氣的滑動(dòng)，氣缸置于水平面上，缸筒內(nèi)有壓強(qiáng)為p0，溫度為T0的理想氣體，氣體體積恰好占缸筒容積的一半，如圖7-25所示。此時(shí)大氣壓也是p0，彈簧的勁度系數(shù)為k，氣缸與地面的最大靜摩擦力為f，求：

　　(1)當(dāng)kl

　　(2)當(dāng)kl>f，對氣缸緩慢加熱到活塞移至缸筒口時(shí)，氣缸內(nèi)氣體的溫度又是多少?

　　【錯(cuò)解】(1)以整體為對象�！遦l

　　以活塞為對象，末態(tài)受力如圖7-26所示。

　　由平衡條件可知：p2S=p0S+kl

　　以氣體為對象，p1=p0 V1=ls T1=T0

　　(2)當(dāng)kl>f時(shí)，氣缸要滑動(dòng)

　　解法一：與(1)解法類似

　　對活塞受力分析如圖7-26所示

　　其余解法與(1)相同，答案也與(1)相同，說明兩種情況沒有區(qū)別。

　　解法二：以活塞為對象受力分析如圖7-27

　　p2S+f=kl+p0S

　　【錯(cuò)解原因】此題第一問解法及答案均正確。錯(cuò)誤主要發(fā)生在第二問：(1)沒有詳細(xì)地分析kl>f情況下氣缸，活塞的運(yùn)動(dòng)，而是套用了第一問解題的思路，分不清klf在此題中的本質(zhì)區(qū)別。(2)解法2對活塞受力分析出現(xiàn)了氣缸受力f，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

　　【分析解答】第一問如上所述，略。

　　第二問，當(dāng)kl>f，就意味著彈簧壓縮到一定程度，設(shè)壓縮量為x，即kx=f處，就不繼續(xù)壓縮，這之后，氣缸開始滑動(dòng)，而氣體則做等壓升溫膨脹。

　　氣體的變化可以分為三種狀態(tài)兩個(gè)過程，如圖7-28所示。

　　第一個(gè)過程：甲態(tài)→乙態(tài)，p，V，T都變。

　　而丙態(tài)的壓強(qiáng)與乙態(tài)相同，

　　第二個(gè)過程：從甲態(tài)→丙態(tài)應(yīng)用氣態(tài)方程

　　【評(píng)析】

　　例15 如圖7-29所示，左端封閉，右端開口的均勻U型管中用水銀封有一段長150mm的空氣柱。左臂總長為250mm，右臂足夠長。如果將管的開口變?yōu)樨Q直向下，求空氣柱的長度。(設(shè)大氣壓為750mmHg)

　　【錯(cuò)解】此題是屬于氣體在等溫情況下壓強(qiáng)和體積的變化的題，可以利用玻意耳定律求解。

　　初態(tài)：p1=(750+100)=850(mmHg)

　　V1=150S(cm3)

　　設(shè)倒轉(zhuǎn)后左臂空氣柱長度增加x，如圖7-30所示，

　　則末態(tài)：p2=(750-100-2x)=(650-2x)(mmHg)

　　V2=(150+x)S(cm3)

　　由玻意耳定律有：p1V1=p2V2

　　即：850×150S=(650-2x)(150+x)S

　　整理得：2x2-350x+30000=0

　　由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)△=b2-4ac=3502-4×2×3000<0，方程無解。所以，這道題是一道沒有解的題。

　　【錯(cuò)解原因】在解題時(shí)，之所以出現(xiàn)這樣的情況，是因?yàn)榻忸}者的思維是勢導(dǎo)致的錯(cuò)誤，上述解法是從空氣柱仍在左臂的假設(shè)出發(fā)的，難道空氣就不能進(jìn)到右臂?顯然，認(rèn)為空氣柱仍在左臂的假設(shè)是需要重新考慮的。

　　【分析解答】在左臂原有空氣柱長150mm的情況下，兩管之間的水銀柱的高度差與U型管倒轉(zhuǎn)后空氣柱是否進(jìn)入右管有關(guān)，高度差越大，水銀越重，倒轉(zhuǎn)后，空氣柱越有可能進(jìn)入右管。那么，兩臂水銀面高度差為多大，才能讓空氣柱仍留在左臂呢?

　　設(shè)初始左、右兩臂水銀面高度差為h，倒轉(zhuǎn)后空氣柱仍在左臂(如圖7-31)則：由玻意耳定律有：

　　(750+h)×150S=(750-h-2x)(150+x)S

　　整理得：2x2+(h-450)x+300h=0

　　當(dāng)△=b2-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，即

　　(h-450)2-4×2×300h≥0

　　解得：h≤62.5mm

　　也就是說，只有當(dāng)兩臂水銀面高度差小于或等于62.5mm時(shí)，倒轉(zhuǎn)后空氣柱才可能仍留在左臂。而本文給出開始時(shí)水銀面高度差為100mm>62.5mm，因此，U型管倒轉(zhuǎn)后空氣柱會(huì)進(jìn)入右臂。

　　設(shè)右臂足夠長，倒轉(zhuǎn)后，水銀柱已全部進(jìn)入右臂如圖7-32所示，末狀態(tài)變?yōu)椋篤2=(250+y)S p2=(750-30)=450(mmHg)

　　根據(jù)玻意耳定律：

　　850×150S=450×(250+y)S

　　解得：y=33.3mm

　　則空氣柱的長度為：l=(250+33.3)=283.3(cm)。

　　【評(píng)析】對于一道物理習(xí)題，應(yīng)該從每個(gè)數(shù)值的物理意義去分析問題，而不能只單純從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度去制定。

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