2016中考數(shù)學(xué)備考專項(xiàng)練習(xí)(15)：圖表信息題

　　9. (2014•揚(yáng)州，第26題，10分)對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T(x，y)= (其中a、b均為非零常數(shù))，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T(0，1)= =B.

　　(1)已知T(1，﹣1)=﹣2，T(4，2)=1.

　�、偾骯，b的值;

　　②若關(guān)于m的不等式組 恰好有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍;

　　(2)若T(x，y)=T(y，x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立(這里T(x，y)和T(y，x)均有意義)，則a，b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?

　　考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算;解二元一次方程組;一元一次不等式組的整數(shù)解

　　分析： (1)①已知兩對(duì)值代入T中計(jì)算求出a與b的值;

　　②根據(jù)題中新定義化簡(jiǎn)已知不等式，根據(jù)不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，求出p的范圍即可;

　　(2)由T(x，y)=T(y，x)列出關(guān)系式，整理后即可確定出a與b的關(guān)系式.

　　解答： 解：(1)①根據(jù)題意得：T(1，﹣1)= =﹣2，即a﹣b=﹣2;

　　T=(4，2)= =1，即2a+b=5，

　　解得：a=1，b=3;

　　②根據(jù)題意得： ，

　　由①得：m≥﹣ ;

　　由②得：m< ，

　　∴不等式組的解集為﹣ ≤m< ，

　　∵不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，即m=0，1，2，

　　∴2≤ <3，

　　解得：﹣2≤p<﹣ ;

　　(2)由T(x，y)=T(y，x)，得到 = ，

　　整理得：(x2﹣y2)(2b﹣a)=0，

　　∵T(x，y)=T(y，x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立，

　　∴2b﹣a=0，即a=2B.

　　點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的混合運(yùn)算，解二元一次方程組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

　　10.(2014•濟(jì)寧第21題9分)閱讀材料：

　　已知，如圖(1)，在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r.連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形.

　　∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC•r+ AC•r+ AB•r= (a+b+c)r.

　　∴r= .

　　(1)類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)，如圖(2)，各邊長(zhǎng)分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r;

　　(2)理解應(yīng)用：如圖(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求 的值.

　　考點(diǎn)： 圓的綜合題.

　　分析： (1)已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似.仿照證明過(guò)程，r易得.

　　(2)(1)中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果.但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線，進(jìn)一步易得BD的長(zhǎng)，則r1、r2、 易得.

　　解答： 解：(1)如圖2，連接OA、OB、OC、OD.

　　∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD= + + + = ，

　　∴r= .

　　(2)如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，

　　∵梯形ABCD為等腰梯形，

　　∴AE= = =5，

　　∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16.

　　在Rt△AED中，

　　∵AD=13，AE=5，

　　∴DE=12，

　　∴DB= =20.

　　∵S△ABD= = =126，

　　S△CDB= = =66，

　　∴ = = = .

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解、創(chuàng)新新知識(shí)的能力，同時(shí)考查了解直角三角形及等腰梯形等相關(guān)知識(shí).這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，是一道值得練習(xí)的基礎(chǔ)題，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).

　　11. ( 2014•安徽省,第22題12分)若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

　　(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);

　　(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值.

　　考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)的最值.菁優(yōu)網(wǎng)

　　專題： 新定義.

　　分析： (1)只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可.

　　(2)由y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問(wèn)題.

　　解答： 解：(1)設(shè)頂點(diǎn)為(h，k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x﹣h)2+k，

　　當(dāng)a=2，h=3，k=4時(shí)，

　　二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(x﹣3)2+4.

　　∵2>0，

　　∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.

　　當(dāng)a=3，h=3，k=4時(shí)，

　　二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(x﹣3)2+4.

　　∵3>0，

　　∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.

　　∵兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4頂點(diǎn)相同，開(kāi)口都向上，

　　∴兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.

　　∴符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4.

　　(2)∵y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，

　　∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1.

　　整理得：m2﹣2m+1=0.

　　解得：m1=m2=1.

　　∴y1=2x2﹣4x+3

　　=2(x﹣1)2+1.

　　∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5

　　=(a+2)x2+(b﹣4)x+8

　　∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，

　　∴y1+y2=(a+2)(x﹣1)2+1

　　=(a+2)x2﹣2(a+2)x+(a+2)+1.

　　其中a+2>0，即a>﹣2.

　　∴ .

　　解得： .

　　∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x2﹣10x+5.

　　∴y2=5x2﹣10x+5

　　=5(x﹣1)2.

　　∴函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為x=1.

　　∵5>0，

　　∴函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上.

　�、佼�(dāng)0≤x≤1時(shí)，

　　∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，

　　∴y2隨x的增大而減小.

　　∴當(dāng)x=0時(shí)，y2取最大值，

　　最大值為5(0﹣1)2=5.

　�、诋�(dāng)1

　　∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，

　　∴y2隨x的增大而增大.

　　∴當(dāng)x=3時(shí)，y2取最大值，

　　最大值為5(3﹣1)2=20.

　　綜上所述：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值為20.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)(開(kāi)口方向、增減性)，考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力.而對(duì)新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵.

　　12. ( 2014•珠海，第20題9分)閱讀下列材料：

　　解答“已知x﹣y=2，且x>1，y<0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：

　　解∵x﹣y=2，∴x=y+2

　　又∵x>1，∵y+2>1.∴y>﹣1.

　　又∵y<0，∴﹣1

　　同理得：1

　　由①+②得﹣1+1

　　∴x+y的取值范圍是0

　　請(qǐng)按照上述方法，完成下列問(wèn)題：

　　(1)已知x﹣y=3，且x>2，y<1，則x+y的取值范圍是　1

　　(2)已知y>1，x<﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范圍(結(jié)果用含a的式子表示).

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