2012年國考《行測》數(shù)量關(guān)系輔導(dǎo)：容斥問題講解

　　通過對近年來國家公務(wù)員考試和各地市公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測驗(yàn)真題的分析，不難發(fā)現(xiàn)，計數(shù)性質(zhì)的試題經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系部分的數(shù)學(xué)運(yùn)算中。而此類試題在運(yùn)算的過程中又因?yàn)槿菀走z露某個條件而漏計或重復(fù)計數(shù)出現(xiàn)錯誤。今天，華圖教育專家結(jié)合具體的試題來和大家一起探討解決此類試題的方法。

　　例題：

　　某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時兩項(xiàng)不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格。則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種?

　　A.34 B.35 C.36 D.37

　　為便于解決此類計數(shù)問題，不妨先讓我們引入小學(xué)奧數(shù)中經(jīng)常用到的一個原理，即容斥原理：

　　在計數(shù)時，必須注意無一重復(fù)，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先容納(計算)進(jìn)去，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去(減去)，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。

　　容斥原理中經(jīng)常用到的有如下兩個公式：

　　運(yùn)用上述兩個公式需要注意以下情況：

　　這兩個公式分別主要針對兩種情況：第一個公式是針對涉及到計算兩類事物的個數(shù)，第二個公式是針對涉及到三類事物的個數(shù)。

　　在理清了容斥原理之后，再來計算前面所提到的例題就會發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用容斥原理解決此類問題就會方便很多。

　　一、運(yùn)用容斥原理公式來解題

　　題干中所要尋找的是三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種，而這道題已經(jīng)給出了這三項(xiàng)建筑防水卷材產(chǎn)品總共有52種，所以，只要求得至少有一項(xiàng)不達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品的種數(shù)，就可以計算出三項(xiàng)全部合格(達(dá)標(biāo))的產(chǎn)品種數(shù)。而不合格的產(chǎn)品涉及到三種情況，所以運(yùn)用三個集合的容斥關(guān)系公式成了解決此題的不二選擇。

　　假設(shè)B是低溫柔度不合格產(chǎn)品的集合，A是可溶物含量不達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品集合，C屬于接縫剪切性能不合格的產(chǎn)品集合，則：

　　當(dāng)然，此題還有一種相對較為容易理解的算法，即用文氏圖法。

　　二、借助文氏圖來計算

　　如下圖所示，I是所有建筑防水卷材產(chǎn)品的集合，A是可溶物含量不達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品集合，B是低溫柔度不合格產(chǎn)品的集合，C屬于接縫剪切性能不合格的產(chǎn)品集合，圖中的數(shù)字即是相應(yīng)集合中元素的個數(shù)。

　　圖中黑色部是同時兩項(xiàng)不格的產(chǎn)品集合，灰色部是這三項(xiàng)都不合格的產(chǎn)品集合。計算至少有一項(xiàng)不達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品的種數(shù)時候，黑色部分重復(fù)計算了一次，灰色部分復(fù)計算了兩次，所以，至少有一項(xiàng)不達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品的種數(shù)有10+8+9-7×1-1×2=18(種)進(jìn)而可求出三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有(52-18)種，即34種。

　　考生在學(xué)習(xí)本文時，要注意以下兩點(diǎn)：

　　1、文氏圖表示的都是相應(yīng)的集合，而本篇文稿所提到的要解決的問題則是計算集合內(nèi)事物個數(shù)的問題。

　　2、一般情況下，較為容易的采用容斥原理公式來計算，較為復(fù)雜則需借助文氏圖。

　　所謂具體問題具體分析，這兩種方法具體如何運(yùn)用，考生還要針對不同題型靈活把握。